Российский хоккеист дебютировал в НХЛ в 2017 году за клуб «Сент-Луис Блюз». С ним он завоевал свой первый Кубок Стэнли в 2019-м. В начале 2023 года Барбашёв перешёл в «Вегас Голден Найтс», в составе которого в июне во второй раз в карьере взял трофей. Сегодня Иван является одним из девяти российских хоккеистов, которые становились двукратными обладателями Кубка Стэнли (Кучеров, Василевский, Сергачёв, Войнов, Дацюк, Твердовский, Зубов, Фетисов).